Barisan dan Deret Aritmatika

a.      Barisan Aritmatika

Barisan artimatika adalah barisan bilangan yang suku-sukunya mempunyai selisih atau beda yang tetap.

Contoh:

(i)      2, 4, 6, 8, . . .

(ii)   3, 2, 1, 0, . . .

Amati barisan diatas, barisan tersebut memiliki beda yang tetap yaitu:

Pada barisan arimatika , selisih atau beda disimbolkan dengan b, dan suku pertama

U₁ disimbolkan dengan a. 

Secara umum dapat ditulis sebagai berikut:

 

dimana b=U_n-U_n-1 , dengan b sebuah konstanta yang tidak bergantung pada n.

Maka pada barisan bilangan (i) diperoleh rumus suku ke-n sebagai berikut:

Contoh:

1.      Tentukan suku pertama, beda dan suku ke delapan paa barisan 15, 20, 25, 30, ...

Jawab :

Barisan 15, 20, 25, 30, ...

Suku pertama = U₁ = a = 15,

Beda = b = U₂ - U₁ = U₃ – U₂ = 20 – 15 = 25 – 20 = 5

Suku kedelapan

U_n=a + (n-1)b

U₈ = 15 + (8-1) 5

 = 15 + 35 = 50

2.      Pada barisan 3, 5, 7, .... 97. Tentukan banyaknya suku!

Jawab :

3, 5, 7, .... 97

a = 3  b = 2

U_n=a + (n-1)b

97 = 3 + (n-1) 2

94 = (n – 1) 2

47 = n – 1

n = 48

 

b.      Deret Aritmatika

Perhatikan contoh barisan aritmatika di atas pada (i)  Maka dapat dituliskan menjadi 

 2 + 4 + 6 + 8, . . .

Deret tersebut disebut deret aritmatika karena memiliki beda yang tetap. Deret diatas merupakan jumlah 4 suku pertama, disimbolkan dengan S₄. Sedangkan untuk jumlah n suku pertama dari suatu deret disimbolkan dengan S_n. Jumlah n suku pertama dapat diperoleh dengan persamaan berikut:

 

er

Dengan     S_n : Jumlah n suku pertma

                      U_n : Suku ke-n

                      a   : suku pertama

                      b   : beda

                      n  : banyak suku

untuk setiap n berlaku : U_n =S_n – S_n-1

Contoh : 

Contoh:

1.      Gaji seorang karyawan setiap bulan dinaikkan sebesar Rp. 50.000,-. Jika gaji pertama karyawan tersebut Rp. 1.000.000,- tentukan jumlah gaji selama satu tahun pertama !

Jawab :

a = 1.000.000

b = 50.000

n = 1 tahun = 12 bulan

S₁₂ =  (2 (1.000.000) + (12 – 1) 50.000)

      = 6 (2.000.000 + 550.000)

      = 6 x 2.550.000

      = 15.300.000

Jadi, jumlah gaji karyawan tersebut selama setahun adalah Rp. 15.300.000,-